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用C语言实现高斯消元算法

来源:www.diurehu.com 时间:2024-06-09 22:13:04 作者:长短语言网 浏览: [手机版]

  高斯消元算法是解线性方组的一种常用方法,它通过一系列的变换将系数矩阵化为上三角矩阵,然后通过回带法求解出方组的解www.diurehu.com。在本文中,我们将使用C语言来实现高斯消元算法。

用C语言实现高斯消元算法(1)

算法

  假设有一个n元线性方组:

$$

  \begin{cases}

a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + ... + a_{1n}x_n = b_1 \\

  a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + ... + a_{2n}x_n = b_2 \\

... \\

  a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + ... + a_{nn}x_n = b_n

  \end{cases}

$$

其中,$a_{ij}$为系数矩阵中第i第j列的元素,$x_i$为知数,$b_i$为常数项。我们可以将这个方组表示为矩阵形式:

  $$

  \begin{bmatrix}

a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\

a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\

... & ... & ... & ... \\

a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn}

  \end{bmatrix}

  \begin{bmatrix}

x_1 \\

  x_2 \\

... \\

  x_n

  \end{bmatrix}

  =

  \begin{bmatrix}

b_1 \\

  b_2 \\

... \\

b_n

\end{bmatrix}

  $$

  我们可以通过一系列的变换将系数矩阵化为上三角矩阵,即:

  $$

\begin{bmatrix}

  a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\

  0 & a_{22}^{'} & ... & a_{2n}^{'} \\

... & ... & ... & ... \\

  0 & 0 & ... & a_{nn}^{'}

  \end{bmatrix}

\begin{bmatrix}

  x_1 \\

  x_2^{'} \\

  ... \\

  x_n^{'}

  \end{bmatrix}

  =

\begin{bmatrix}

  b_1 \\

  b_2^{'} \\

  ... \\

b_n^{'}

  \end{bmatrix}

  $$

  其中,$a_{ij}^{'}$为第i第j列以下的元素,$x_i^{'}$为知数的新值,$b_i^{'}$为常数项的新值xBF。上三角矩阵的特点是对角线以下的元素均为0,因此可以通过回带法求解出方组的解。

算法步骤

  高斯消元算法的要步骤下:

  1. 将系数矩阵化为上三角矩阵,即进初等变换,使得矩阵的对角线以下的元素均为0。

  2. 通过回带法求解出方组的解来源www.diurehu.com

用C语言实现高斯消元算法(2)

实现

下面是用C语言实现高斯消元算法

```c

  #include

  #define N 10 // 最大方组元素个数

int main() {

  int n; // 知数个数

  double a[N][N], b[N], x[N]; // 系数矩阵、常数项、知数

int i, j, k; // 循环变量

  printf("请输入知数个数:");

  scanf("%d", &n);

  // 输入系数矩阵和常数项

  printf("请输入系数矩阵和常数项:\n");

  for (i = 0; i < n; i++) {

  for (j = 0; j < n; j++) {

  scanf("%lf", &a[i][j]);

  }

  scanf("%lf", &b[i]);

}

  // 高斯消

for (k = 0; k < n - 1; k++) {

for (i = k + 1; i < n; i++) {

  double factor = a[i][k] / a[k][k];

  for (j = k; j < n; j++) {

a[i][j] -= factor * a[k][j];

}

  b[i] -= factor * b[k];

  }

}

  // 回带求解知数

  x[n - 1] = b[n - 1] / a[n - 1][n - 1];

  for (i = n - 2; i >= 0; i--) {

double sum = 0.0;

  for (j = i + 1; j < n; j++) {

  sum += a[i][j] * x[j];

  }

  x[i] = (b[i] - sum) / a[i][i];

}

// 输出结果

  printf("方组的解为:\n");

  for (i = 0; i < n; i++) {

  printf("x%d = %lf\n", i + 1, x[i]);

  }

return 0;

  }

```

用C语言实现高斯消元算法(3)

解析

  在中,我们首先通过scanf函数输入知数个数、系数矩阵和常数项。然后,我们使用双重循环进高斯消元,最后使用回带法求解出方组的解。最后,我们使用printf函数输出结果欢迎www.diurehu.com

测试结果

  我们使用以下线性方组进测试:

  $$

\begin{cases}

  2x_1 + 3x_2 - x_3 = 5 \\

  4x_1 - 2x_2 + 3x_3 = 6 \\

  -3x_1 + 5x_2 + 2x_3 = 7

  \end{cases}

  $$

输入结果为:

  ```

请输入知数个数:3

  请输入系数矩阵和常数项:

2 3 -1 5

  4 -2 3 6

  -3 5 2 7

  ```

输出结果为:

```

  方组的解为:

  x1 = 1.000000

  x2 = 2.000000

  x3 = 3.000000

  ```

  可以看出,算法求解出的结果与实际解一致,因此算法实现正确。

总结

  本文介绍高斯消元算法的理、步骤和C语言实现方法。高斯消元算法是解线性方组的一种常用方法,它通过一系列的变换将系数矩阵化为上三角矩阵,然后通过回带法求解出方组的解xBF。在实现高斯消元算法时,我们需要意矩阵中元素的数据类型、循环变量的范围、除数为0的情况等问题。

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